数学原理

大数定理

大数定理是概率论和统计学中的一个基本概念，它描述了当样本数量足够大时，样本均值会趋近于总体均值的性质。大数定理有两个主要的形式：

1. 切比雪夫大数定理：如果随机变量的序列 (X_1, X_2, …, X_n) 具有相同的期望 (E(X_i) = \mu) 和有限的方差 (Var(X_i) = \sigma^2)，那么样本均值 (\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i) 会以概率 1 收敛到 (\mu)，即随着 (n) 的增加，样本均值的分布越来越集中于 (\mu)。

2. 伯努利大数定理：特别地，当每个 (X_i) 都是独立同分布的伯努利试验（即只有两种可能的结果，成功和失败，且每次试验成功的概率为 (p)），则样本均值 (\overline{X}) 收敛到 (E(X_i) = p)。

大数定理在统计推断、机器学习、金融风险评估等领域都有广泛的应用。它为从样本推断总体提供了理论基础，尤其是在估计总体参数时。