线性代数

1. 矩阵SVD分解
2. 矩阵能够相似对角化的充要条件
3. 讲一讲SVM的原理
4. 对特征值和特征向量的理解

1. 线性变换

定义：
线性变换是指一个函数 ( T: V \rightarrow W )，它将一个向量空间 ( V ) 中的向量 ( v ) 映射到另一个向量空间 ( W ) 中的向量 ( w )，且满足以下两个条件：

• 加法保持性：对于任意向量 ( u, v \in V )，有 ( T(u + v) = T(u) + T(v) )。
• 标量乘法保持性：对于任意向量 ( v \in V ) 和任意标量 ( a )，有 ( T(av) = aT(v) )。

几何意义：
线性变换可以看作是一种在空间中的“拉伸”或“压缩”，甚至可以是“旋转”或“反射”。 在二维空间中，线性变换可以想象为一个网格被均匀地拉伸或压缩，而不会发生撕裂或折叠。

2. 特征值和特征向量

定义：
对于一个给定的线性变换 ( T )，如果存在一个非零向量 ( v ) 和一个标量 ( \lambda )，使得 ( T(v) = \lambda v )，那么 ( v ) 就是 ( T ) 的一个特征向量，而 ( \lambda ) 就是对应的特征值。

几何意义：
特征向量：是线性变换下保持方向不变的向量，
特征值：则表示这个方向上的伸缩比例。 在二维空间中，可以想象一个线性变换将一个向量“拉伸”或“压缩”成另一个向量，而特征向量就是在这个过程中方向不变的向量。

计算：
特征值和特征向量的计算通常通过求解特征方程 ( T(v) = \lambda v ) 来完成，即：

[ (T - \lambda I)v = 0 ]

其中，( T ) 是线性变换的矩阵表示，( I ) 是单位矩阵，( \lambda ) 是特征值，( v ) 是特征向量。

应用：

• 机器学习：在机器学习中，特征值和特征向量被用于主成分分析（PCA）等降维技术，以及谱聚类等聚类算法。
• 深度学习：在深度学习的卷积神经网络中，卷积核可以看作是一种线性变换，其参数（权重）可以通过特征值分解来优化。
• 物理学：在经典力学中，特征值问题与系统的固有频率相关，特征向量则与系统的振动模式相关。

理解线性变换、特征值和特征向量对于深入学习数学、物理以及相关工程领域非常重要，它们提供了一种强大的工具来分析和理解复杂系统的行为。

学完之后学习降维算法